Resultados Potenciais: Modelo de Rubin

Introdução

Esta nota faz uma breve apresentação do modelo de resultados potenciais, também conhecido como modelo de Rubin. Este modelo fornece uma linguagem formal para definir efeito causal e, portanto, possibilitar a realização de inferência causal. Ele será a base base conceitual principal utilizada ao longo do curso para os métodos de identificação de efeitos causais.

1. Conceitos Fundamentais

1.1 Resultados Potenciais

Para cada unidade (indivíduo, firma, país, etc.) \(i\) em uma população, definimos a existência de dois resultados potenciais:

\(Y_{i1}\): O resultado para a unidade \(i\) se ela recebesse o tratamento.

\(Y_{i0}\): O resultado para a unidade \(i\) se ela não recebesse o tratamento (controle).

A ideia crucial é que esses resultados potenciais são contrafactuais, ou seja para um dado indivíduo apenas um deles pode ser observado.

1.2 Atribuição de Tratamento

Seja \(D_i\) uma variável binária que indica o status de tratamento da unidade \(i\):

\(D_i = 1\) se a unidade \(i\) recebeu o tratamento.

\(D_i = 0\) se a unidade \(i\) não recebeu o tratamento (controle).

1.3 Resultado Observado

O resultado que observamos para a unidade \(i\), denotado por \(Y_i\), é uma função de seus resultados potenciais e de seu status de tratamento. Matematicamente, podemos expressar isso como:

\[ Y_i = D_i Y_{i1} + (1 - D_i) Y_{i0} \]

Isso significa que observamos \(Y_{i1}\) se \(D_i=1\) e \(Y_{i0}\) se \(D_i=0\).

2. Efeitos Causais

2.1 Efeito Tratamento Individual

O efeito causal do tratamento para uma unidade \(i\) será definido como a diferença entre seus resultados potenciais:

\[ \tau_i = Y_{i1} - Y_{i0} \]

Este é o efeito que gostaríamos de conhecer para cada unidade. No entanto, é impossível observar \(\tau_i\) diretamente, pois só podemos observar um dos resultados potenciais para cada unidade.

2.2 Efeito Tratamento Médio (Average Treatment Effect - ATE)

Ainda que o efeito causal individual seja não observável, conceitualmente temos que existe uma distribuição desses efeitos de tratamento. Dessa forma, podemos trabalhar com as características desta distribuição, como por exemplo, a média. Assim, em geral, estamos interessados em estimar o efeito tratamento médio (ATE) para avaliar o efeito causal em determinados grupos. O ATE é o efeito médio do tratamento em toda a população:

\[ \text{ATE} = E[Y_1 - Y_0] = E[\tau_i] \]

O ATE representa a diferença esperada nos resultados se toda a população recebesse o tratamento versus se ninguém recebesse o tratamento.

2.3 Efeito Tratamento Médio no Grupo Tratado (Average Treatment Effect on the Treated - ATT)

Outra medida de interesse comum é o efeito médio do tratamento apenas para aqueles que realmente receberam o tratamento:

\[ \text{ATT} = E[Y_1 - Y_0 | D=1] \]

O ATT é particularmente útil em avaliações de políticas, onde se deseja saber o efeito da política sobre aqueles que foram realmente afetados por ela.

2.4 Efeito Tratamento Médio no Grupo dos Não Tratados (Average Treatment Effect on the Unreated - ATU)

Assim como definimos o ATT, também definimos o efeito médio do tratamento para aqueles que não receberam o tratamento:

\[ \text{ATU} = E[Y_1 - Y_0 | D=0] \]

Ainda que a interpretação do ATU seja menos intuitiva, o conceito é particularmente útil para entender as hipóteses necessárias para eliminar viés de seleção.

3. O Problema Fundamental da Inferência Causal

O problema fundamental da inferência causal decorre diretamente do fato de que não observamos os resultados contrafactuais. Para qualquer unidade \(i\), observamos \(Y_i = Y_{i1}\) (se \(D_i=1\)) ou \(Y_i = Y_{i0}\) (se \(D_i=0\)), mas nunca ambos simultaneamente. Isso significa que não podemos calcular \(\tau_i = Y_{i1} - Y_{i0}\) para nenhuma unidade específica.

Consequentemente, inferir efeitos causais (especialmente os efeitos médios como ATE, ATT ou ATU) requer hipóteses que nos permitam estimar as médias dos efeitos tratamentos, mesmo que não possamos observá-los diretamente para cada unidade.

4. Suposições Chave para Identificação

Para que possamos usar dados observados para estimar efeitos causais, o Modelo de Rubin requer certas suposições.

4.1 SUTVA (Stable Unit Treatment Value Assumption)

A Suposição de Valor de Tratamento Unitário Estável (SUTVA) é crucial para que os resultados potenciais sejam bem definidos. Ela afirma que:

1. Não Interferência: O tratamento de uma unidade não afeta os resultados potenciais de outra unidade.

Ou seja, \(Y_{i1}\) e \(Y_{i0}\) são bem definidos e não dependem do status de tratamento de outras unidades. Isto implica que não existem spillovers ou efeitos de rede do tratamento.

2. Consistência do Tratamento: Não há diferentes versões do tratamento. O tratamento \(D_i=1\) significa a mesma coisa para todas as unidades tratadas, e a ausência de tratamento \(D_i=0\) significa a mesma coisa para todas as unidades de controle.

Em termos práticos, SUTVA garante que os resultados potenciais são únicos e que podemos pensar neles isoladamente para cada unidade, sem que “o tratamento” ou “o controle” se alterem em função de características externas ou de outras unidades.

4.2 Não-confundimento (Unconfoundedness) ou Independência Condicional

Esta é uma suposição crucial para a identificação em muitos métodos causais. Ela afirma que, condicionando em um conjunto de covariáveis observáveis \(X\), o status de tratamento é independente dos resultados potenciais:

\[ (Y_{i0}, Y_{i1}) \perp D_i \mid X_i \]

Em outras palavras, uma vez que controlamos por \(X_i\), a atribuição de tratamento é “como se fosse aleatória”. Isso implica que qualquer diferença nos resultados médios entre grupos tratados e não tratados dentro de cada estrato de \(X_i\) pode ser atribuída ao tratamento e não a diferenças preexistentes nos resultados potenciais. Sem essa suposição (ou hipóteses de identificação adicionais), a seleção para o tratamento é baseada em fatores que também afetam os resultados levando a viés de seleção.

Referências

Cunningham, S. Causal Inference: the mixtape. Yale University Press. 1st Edition. 2021.

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